Introducción al Tema

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Definición:

Una expresión algebraica es una combinación de números y letras relacionados por las operaciones aritméticas de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Ejemplos:

Clasificación de expresiones algebraicas

Estas se clasifican en:

·        Expresiones algebraicas enteras: son aquellas en que las letras están afectadas únicamente a las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y potenciación con exponente natural.

Ejemplos:

·        Expresiones algebraicas fraccionarias (racionales): son aquellas que se pueden expresar como el cociente entre dos expresiones algebraicas enteras o bien, cuando por lo menos una letra figura elevada a un exponente entero negativo.

Ejemplos:

 

Ver: simplificación de expresiones algebraicas racionales y operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias.

Expresiones algebraicas enteras

Según el número de términos se clasifican en: monomios y polinomios.

¿En qué se diferencian los monomios de los polinomios?

Monomios

Definición: son aquellas expresiones en las que no intervienen ni la adición ni la sustracción. Es decir, poseen un solo término.

Ejemplo:

Como se observa en este ejemplo, un monomio consta de tres partes, que son:

ü el signo (en nuestro ejemplo es negativo)

ü el coeficiente numérico

ü la parte literal

Observaciones:

·        Algunos autores consideran que todo monomio está formado por dos partes: el coeficiente numérico (con su signo) y la parte literal.

·        En el monomio 5xy el signo es positivo y por convención no se escribe.

·        Cuando el coeficiente numérico es igual a 1, se conviene en no hacerlo figurar. Así, por ejemplo, el monomio xy tiene coeficiente 1.

·        En todo monomio, la operación existente entre el coeficiente numérico y una letra o entre letras es la multiplicación, la cual se conviene no escribir. Ejemplo: 5*x*y=5xy

Monomios semejantes: son aquellos monomios que poseen la misma parte literal. Es decir, que difieren únicamente en el signo y en el coeficiente numérico. Ejemplos:

Monomios no semejantes: son aquellos monomios que difieren en la parte literal. Pudiendo o no diferir en el signo y en el coeficiente numérico. Ejemplos:

Grado de un monomio: es el número de factores literales que en él figuran, y se calcula sumando los exponentes de todas sus letras. Ejemplo:

 es un monomio de quinto grado.

es un monomio de segundo grado.

En general, para calcular el grado de un monomio se suman los exponentes de todas sus letras.

Operaciones con monomios: con los monomios es posible realizar diferentes operaciones. Entre las que se encuentran: La adición, sustracción, multiplicación y división entre monomios y el cálculo de la potencia enésima de un monomio.

Polinomios

Definición: son aquellas expresiones en las que intervienen la adición y la sustracción, o una de ellas solamente. También puede interpretarse a un polinomio como una suma algebraica de monomios.

Ejemplos:

Un polinomio puede tener dos, tres, cuatro o más términos.

Si tiene dos términos se llama binomio; si tiene tres términos, trinomio; si tiene cuatro términos, cuatrinomio, y más de cuatro términos, polinomio de n términos.

Grado de un polinomio: está dado por el término de más alto grado

Ejemplos:

es un polinomio de sexto grado.

es un polinomio de quinto grado

Si asociamos un número a cada una de las letras de un polinomio, podemos calcular el valor numérico de dicha expresión algebraica.
Si lo necesitas, mira este video....

Según sus características, los polinomios reciben diferentes nombres:

Polinomios nulos: son aquellos polinomios cuyos coeficientes numéricos son iguales a cero. Ejemplo:

Polinomios homogéneos: son aquellos polinomios en los cuales todos sus términos son del mismo grado.

Ejemplo:

Polinomios ordenados: se presentan dos casos:

Ø Un polinomio se dice ordenado con respecto a las potencias decrecientes de una de sus letras, cuando ésta figura en cada término elevada a una potencia menor o igual que en el término anterior.

Ejemplo:

Ø Un polinomio se dice ordenado con respecto a las potencias crecientes de una de sus letras, cuando ésta figura en cada término elevada a una potencia mayor o igual que en el término anterior.

Ejemplo:

La letra con respecto a la cual el polinomio está ordenado se llama letra ordenatriz.

Polinomios completos: Un polinomio en x (o en una letra determinada) se dice completo cuando figuran todas las potencias de esa letra, menores que la de más alto grado que esa letra figura en el polinomio.

En caso contrario el polinomio se dice incompleto.

Ejemplo:

Polinomio completo en x:

Es un polinomio completo, pues el término de más alto grado en x que figura es de cuarto grado, y luego en los otros términos figuran los términos de tercer, segundo y primer grado y como la potencia cero es igual a la unidad, el término +7 es equivalente a término de grado cero.

Polinomio incompleto en x:

Es un polinomio incompleto en x, pues faltan los términos de segundo y tercer grado.

Completar un polinomio es hacer figurar en él las potencias que faltan para que sea completo. Para ello es necesario agregar los términos correspondientes a esas potencias que faltan, pero sin que altere el polinomio dado; por lo tanto, los términos que se agregan deben ser nulos; esto se logra afectándolos del coeficiente numérico cero.

Así, por ejemplo, para completar el polinomio:

es necesario agregar los términos de segundo y tercer grado; luego, el polinomio completo es:

 

Observación: con los polinomios podemos efectuar diferentes operaciones; como también transformar las mismas en producto de otras expresiones algebraicas, utilizando los casos de factoreo.